Giải SGK Toán Lớp 10 Tập 2 - HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP
💡 Kiến thức trọng tâm
Bài tập về tọa độ của vectơ và điểm trong mặt phẳng Oxy, bao gồm tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh tam giác vuông cân, tính chất thẳng hàng, tìm tọa độ hình bình hành, trọng tâm tam giác và ứng dụng chuyển động đều của tàu thủy.
🔑 Công thức & Quy tắc cốt lõi:
Cho vectơ a = (x; y), độ dài vectơ a là |a| = căn bậc hai của (x bình phương + y bình phương).
Cho hai điểm M(x1; y1) và N(x2; y2), độ dài đoạn thẳng MN = căn bậc hai của ((x2 - x1) bình phương + (y2 - y1) bình phương).
Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB với A(xA; yA) và B(xB; yB) là M((xA + xB) / 2; (yA + yB) / 2).
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC với A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC) là G((xA + xB + xC) / 3; (yA + yB + yC) / 3).
Hai vectơ a = (x1; y1) và b = (x2; y2) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho x1 = kx2 và y1 = ky2 (hoặc x1y2 - x2y1 = 0).
✍️ Hướng dẫn giải chi tiết
Tính độ dài đoạn thẳng và chứng minh tam giác vuông cân
a) Với O(0; 0), M(1; 3), N(4; 2): Độ dài OM = căn bậc hai của (1 bình phương + 3 bình phương) = căn 10. Độ dài ON = căn bậc hai của (4 bình phương + 2 bình phương) = căn 20 = 2 căn 5. Độ dài MN = căn bậc hai của ((4 - 1) bình phương + (2 - 3) bình phương) = căn bậc hai của (3 bình phương + (-1) bình phương) = căn 10. b) Ta có OM bình phương + MN bình phương = 10 + 10 = 20 = ON bình phương. Suy ra tam giác OMN vuông tại M. Lại có OM = MN = căn 10, vậy tam giác OMN vuông cân tại M.
Tìm mối liên hệ giữa vectơ, xét tính thẳng hàng và tìm tọa độ đỉnh hình bình hành
a) Ta có M(-3; 6), N(3; -3) suy ra vectơ MN = (6; -9). Vectơ a = (3; -2), vectơ b = (4; -1) suy ra 2a - b = 2(3; -2) - (4; -1) = (6 - 4; -4 - (-1)) = (2; -3). Do đó vectơ MN = 3(2a - b). b) Vectơ OM = (-3; 6) và vectơ ON = (3; -3). Vì không tồn tại k để vectơ ON = k vectơ OM nên O, M, N không thẳng hàng. c) OMNP là hình bình hành khi và chỉ khi vectơ OP = vectơ MN. Gọi P(x; y), ta có vectơ OP = (x; y) và vectơ MN = (6; -9). Suy ra x = 6 và y = -9. Vậy P(6; -9).
Tam giác ABC, trung điểm, trọng tâm và bài toán ngược về trọng tâm
a) Cho A(1; 3), B(2; 4), C(-3; 2). Ta có vectơ AB = (1; 1) và vectơ AC = (-4; -1). Vì 1 / -4 khác 1 / -1 nên vectơ AB và vectơ AC không cùng phương. Do đó A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. b) Tọa độ trung điểm M của AB là M((1 + 2) / 2; (3 + 4) / 2) tương đương M(1.5; 3.5). c) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là G((1 + 2 - 3) / 3; (3 + 4 + 2) / 3) tương đương G(0; 3). d) Gọi D(x; y). O(0; 0) là trọng tâm tam giác ABD suy ra (xA + xB + xD) / 3 = 0 và (yA + yB + yD) / 3 = 0. Thay số vào ta được (1 + 2 + x) / 3 = 0 và (3 + 4 + y) / 3 = 0. Suy ra x = -3 và y = -7. Vậy D(-3; -7).
Bài toán chuyển động của tàu thủy
Tàu khởi hành từ A(1; 2). Vận tốc v = (3; 4). Thời gian t = 1.5 giờ. Vectơ dịch chuyển của tàu trong 1.5 giờ là s = 1.5 * v = 1.5 * (3; 4) = (4.5; 6). Vị trí của tàu tại thời điểm sau khi khởi hành 1.5 giờ là điểm M(x; y) với x = 1 + 4.5 = 5.5 và y = 2 + 6 = 8. Vậy tọa độ vị trí tàu là (5.5; 8).
Xác định vị trí nước đi của quân mã trên bàn cờ
Quân mã đang ở vị trí có tọa độ (1; 2). Theo quy tắc đi của quân mã (di chuyển 2 ô theo một hướng và 1 ô theo hướng vuông góc, tạo thành hình chữ L), các vị trí mà quân mã có thể đến trên hệ trục tọa độ là: (1 + 1; 2 + 2) = (2; 4), (1 + 2; 2 + 1) = (3; 3), (1 + 2; 2 - 1) = (3; 1), và (1 + 1; 2 - 2) = (2; 0). Nhìn vào hình vẽ 4.38, các vị trí thỏa mãn hợp lệ trên bàn cờ là (2; 4), (3; 3), (3; 1) và (2; 0).
📖 SGK Toán 10, tập hai
66