Giải SGK Toán Lớp 11 Tập 1 - BÀI TẬP CUỐI CHUYÊN ĐỀ 1
💡 Kiến thức trọng tâm
Bài học cung cấp công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân và ứng dụng thực tế trong giải toán tài chính, tăng trưởng sinh học.
🔑 Công thức & Quy tắc cốt lõi:
Cho cấp số nhân (u_n) có số hạng đầu u_1 và công bội q.
Nếu q ≠ 1: Tổng n số hạng đầu là S_n = (u_1 * (1 - q^n)) / (1 - q)
Nếu q = 1: Tổng n số hạng đầu là S_n = n * u_1
✍️ Hướng dẫn giải chi tiết
Tính số lượng vi khuẩn sau 5 giờ nuôi cấy
Số lượng vi khuẩn ban đầu là u_1 = 5 000 con. Mỗi giờ số vi khuẩn tăng 8%, nên số lượng vi khuẩn sau mỗi giờ bằng 108% = 1,08 lần số lượng vi khuẩn của giờ ngay trước đó. Dãy số lượng vi khuẩn sau mỗi giờ tạo thành một cấp số nhân với u_1 = 5 000 và công bội q = 1,08. Sau 5 giờ, số lượng vi khuẩn là số hạng u_6 (hoặc tính sau 5 chu kỳ tăng trưởng): N = u_1 * q^5 = 5 000 * (1,08)^5 ≈ 7 347 (con vi khuẩn).
Xây dựng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân
a) Biểu diễn các số hạng theo u_1 và q: S_n = u_1 + u_1q + u_1q^2 + ... + u_1q^(n-1). b) Nhân cả hai vế với q: qS_n = u_1q + u_1q^2 + u_1q^3 + ... + u_1q^n. c) Trừ vế với vế: S_n - qS_n = u_1 - u_1q^n <=> (1 - q)S_n = u_1(1 - q^n). Vì q ≠ 1 nên 1 - q ≠ 0, suy ra S_n = u_1*(1 - q^n) / (1 - q).
Tính tổng n số hạng đầu khi công bội q = 1
Khi công bội q = 1, các số hạng của cấp số nhân đều bằng nhau: u_1 = u_2 = ... = u_n. Do đó, tổng n số hạng đầu là S_n = u_1 + u_1 + ... + u_1 (gồm n số hạng) = n * u_1.
Tìm số lượng số hạng cần lấy tổng để đạt kết quả cho trước
Cấp số nhân 2, 6, 18, ... có số hạng đầu u_1 = 2 và công bội q = 6 / 2 = 3. Ta có S_n = 728. Áp dụng công thức tổng n số hạng đầu: S_n = u_1*(1 - q^n)/(1 - q) <=> 2*(1 - 3^n)/(1 - 3) = 728 <=> 2*(1 - 3^n)/(-2) = 728 <=> -(1 - 3^n) = 728 <=> 3^n - 1 = 728 <=> 3^n = 729 <=> 3^n = 3^6 <=> n = 6. Vậy cần lấy tổng của 6 số hạng đầu.
📖 SGK Toán 11, tập một
55