Giải SGK Toán Lớp 11 Tập 1 - DÃY SỐ
💡
Tóm tắt nội dung: Lời giải chi tiết Bài 5: Dãy số môn Toán Lớp 11 Tập 1 (sách Kết nối tri thức với cuộc sống). Hướng dẫn giải đầy đủ, chi tiết câu hỏi và bài tập giúp học sinh dễ dàng ôn tập và học tốt.
💡 Kiến thức trọng tâm
Bài học trình bày các quy tắc tính giới hạn vô cực của dãy số và áp dụng giải các bài tập tìm giới hạn, bài toán thực tế về lượng thuốc và độ dài đường gấp khúc vô hạn.
🔑 Công thức & Quy tắc cốt lõi:
Nếu lim u_n = a và lim v_n = +infinity (hoặc -infinity) thì lim (u_n / v_n) = 0.
Nếu lim u_n = a > 0, lim v_n = 0 và v_n > 0 với mọi n thì lim (u_n / v_n) = +infinity.
Nếu lim u_n = +infinity và lim v_n = a > 0 thì lim (u_n * v_n) = +infinity.
✍️ Hướng dẫn giải chi tiết
❓ Đề bài:
Tính lim (n - căn(n))
🔑 Lời giải chi tiết:
Ta có lim (n - căn(n)) = lim [n(1 - 1/căn(n))] = +infinity vì lim n = +infinity và lim (1 - 1/căn(n)) = 1.
❓ Đề bài:
Tìm các giới hạn: a) lim (n^2 + n + 1) / (2n^2 + 1), b) lim (căn(n^2 + 2n) - n)
🔑 Lời giải chi tiết:
a) lim (n^2 + n + 1) / (2n^2 + 1) = lim (1 + 1/n + 1/n^2) / (2 + 1/n^2) = 1/2. b) lim (căn(n^2 + 2n) - n) = lim (2n) / (căn(n^2 + 2n) + n) = lim 2 / (căn(1 + 2/n) + 1) = 2 / (1 + 1) = 1.
❓ Đề bài:
Cho hai dãy số không âm (u_n) và (v_n) với lim u_n = 2 và lim v_n = 3. Tìm các giới hạn: a) lim (u_n^2 / (v_n - u_n)), b) lim căn(u_n + 2v_n)
🔑 Lời giải chi tiết:
a) lim u_n^2 = 2^2 = 4, lim (v_n - u_n) = 3 - 2 = 1. Do đó lim (u_n^2 / (v_n - u_n)) = 4 / 1 = 4. b) lim căn(u_n + 2v_n) = căn(lim u_n + 2*lim v_n) = căn(2 + 2*3) = căn(8) = 2*căn(2).
❓ Đề bài:
Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi: a) u_n = (n^2 + 1) / (2n - 1), b) v_n = căn(2n^2 + 1) - n
🔑 Lời giải chi tiết:
a) lim u_n = lim (n + 1/n) / (2 - 1/n) = +infinity. b) lim v_n = lim (n^2 + 1) / (căn(2n^2 + 1) + n) = lim (n + 1/n) / (căn(2 + 1/n^2) + 1) = +infinity.
❓ Đề bài:
Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số: a) 1,(12) = 1,121212..., b) 3,(102) = 3,102102102...
🔑 Lời giải chi tiết:
a) 1,(12) = 1 + 12/100 + 12/10000 + ... = 1 + (12/100) / (1 - 1/100) = 1 + 12/99 = 111/99 = 37/33. b) 3,(102) = 3 + 102/1000 + 102/1000000 + ... = 3 + (102/1000) / (1 - 1/1000) = 3 + 102/999 = 3102/999 = 1034/333.
❓ Đề bài:
Một bệnh nhân hằng ngày phải uống một viên thuốc 150 mg. Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%. Tính lượng thuốc trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 5. Ước tính lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài.
🔑 Lời giải chi tiết:
Gọi u_n là hàm lượng thuốc sau khi uống ngày thứ n. Ta có u_1 = 150, u_2 = 150 + 0,05*150, ..., u_n = 150(1 + 0,05 + ... + 0,05^(n-1)). Sau khi uống viên thứ 5 (n=5): u_5 = 150 * (1 - 0,05^5) / (1 - 0,05) ≈ 157,89 mg. Khi sử dụng trong thời gian dài (n -> +infinity), lượng thuốc tiến tới S = 150 / (1 - 0,05) = 150 / 0,95 = 3000/19 ≈ 157,89 mg.
❓ Đề bài:
Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = h và góc B bằng alpha. Từ A kẻ AA_1 vuông góc BC, từ A_1 kẻ A_1A_2 vuông góc AC, sau đó lại kẻ A_2A_3 vuông góc BC. Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc vô hạn AA_1A_2A_3... Tính độ dài đường gấp khúc này theo h và alpha.
🔑 Lời giải chi tiết:
Ta có AA_1 = h * sin(alpha). A_1A_2 = AA_1 * cos(alpha) = h * sin(alpha) * cos(alpha). A_2A_3 = A_1A_2 * cos(alpha) = h * sin(alpha) * cos^2(alpha). Độ dài đường gấp khúc là tổng S = AA_1 + A_1A_2 + A_2A_3 + ... = h * sin(alpha) / (1 - cos(alpha)).
📖 Chọn sách để xem:
📖 SGK Toán 11, tập một
📖
Đang tải trang sách...
110