Giải SGK Toán Lớp 8 Tập 1 - LUYỆN TẬP CHUNG

💡

Tóm tắt nội dung: Lời giải chi tiết Bài null: Luyện tập chung môn Toán Lớp 8 Tập 1 (sách Kết nối tri thức với cuộc sống). Hướng dẫn giải đầy đủ, chi tiết câu hỏi và bài tập giúp học sinh dễ dàng ôn tập và học tốt.

💡 Kiến thức trọng tâm

Bài học bao gồm các bài tập luyện dụng và vận dụng các tính chất của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi và hình vuông để chứng minh tứ giác và tính độ dài các cạnh.

🔑 Công thức & Quy tắc cốt lõi:

Dấu hiệu nhận biết hình thoi: Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi; Hình bình hành có hai đường vuông góc là hình thoi; Hình bình hành có một đường chéo là phân giác của một góc là hình thoi.

Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật: Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật; Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật; Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật; Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

Dấu hiệu nhận biết hình vuông: Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông; Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc là hình vuông; Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông; Hình thoi có một góc vuông là hình vuông; Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

✍️ Hướng dẫn giải chi tiết

❓ Đề bài:

Cho tam giác ABC, D là một điểm nằm giữa B và C. Qua D kẻ các đường thẳng song song với AB, AC...

🔑 Lời giải chi tiết:

a) Xét tứ giác AEDF, ta có: DE // AF (vì DE // AB) và DF // AE (vì DF // AC). Do đó, tứ giác AEDF là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).
b) Hình bình hành AEDF là hình thoi khi và chỉ khi đường chéo AD đồng thời là đường phân giác của góc A (hoặc AD vuông góc với EF). Do tam giác ABC cân tại A, đường phân giác AD ứng với cạnh đáy BC cũng đồng thời là đường trung tuyến và đường cao. Vậy D phải là trung điểm của cạnh BC.
c) Hình bình hành AEDF là hình chữ nhật khi và chỉ khi có một góc vuông. Vì tam giác ABC vuông tại A nên góc A bằng 90 độ. Do đó, hình bình hành AEDF có góc A bằng 90 độ nên AEDF là hình chữ nhật.
d) Hình bình hành AEDF là hình vuông khi nó vừa là hình thoi vừa là hình chữ nhật. Do đó, tam giác ABC cần vừa vuông vừa cân tại A (vuông cân tại A), và D là trung điểm của cạnh BC.

❓ Đề bài:

Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh trong một hình chữ nhật là các đỉnh của một hình thoi.

🔑 Lời giải chi tiết:

Gọi hình chữ nhật là ABCD và các trung điểm của bốn cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt là M, N, P, Q. Xét tam giác ABC, MN là đường trung bình nên MN // AC và MN = 1/2 AC. Tương tự, QP là đường trung bình của tam giác ADC nên QP // AC và QP = 1/2 AC. Suy ra MN // QP và MN = QP, do đó MNPQ là hình bình hành. Mặt khác, ta chứng minh được các cạnh bên của hình thoi bằng nhau dựa trên độ dài đường chéo bằng nhau của hình chữ nhật ABCD (AC = BD), suy ra MP = NQ, do đó hình bình hành MNPQ có hai đường chéo bằng nhau hoặc bốn cạnh bằng nhau (tính chất đường trung bình bằng nhau tương ứng với nửa hai đường chéo bằng nhau của hình chữ nhật), suy ra MNPQ là hình thoi.

❓ Đề bài:

Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh trong một hình thoi là các đỉnh của một hình chữ nhật.

🔑 Lời giải chi tiết:

Gọi hình thoi là ABCD và các trung điểm của bốn cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt là M, N, P, Q. Sử dụng tính chất đường trung bình, ta chứng minh được MNPQ là hình bình hành. Vì các đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau tại O, kết hợp với các đường trung bình song song với các đường chéo này, ta suy ra các góc của tứ giác MNPQ đều là góc vuông. Do đó, tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

❓ Đề bài:

Cho hình chữ nhật ABCD có chu vi bằng 36 cm. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Biết rằng MA vuông góc với MD...

🔑 Lời giải chi tiết:

Gọi chiều rộng hình chữ nhật là x (cm), chiều dài là y (cm) (x > 0, y > x). Chu vi hình chữ nhật bằng 36 cm nên 2(x + y) = 36 hay x + y = 18 (1). Tam giác AMD vuông tại M có trung tuyến ứng với cạnh huyền hoặc các hệ thức lượng trong tam giác, kết hợp tính chất MA vuông góc MD ta lập được hệ phương trình hoặc phương trình tính toán cạnh, suy ra x = 6 cm và y = 12 cm (hoặc giải chi tiết dựa vào định lý Pythagore trong các tam giác vuông ABM và DCM).

📖 Chọn sách để xem: