Giải SGK Toán Lớp 12 Tập 2 - BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG V
💡 Kiến thức trọng tâm
Bài học cung cấp các bài tập nâng cao về vectơ trong không gian, tích vô hướng của hai vectơ, áp dụng để tính góc, chứng minh các hệ thức vectơ và giải thích các hiện tượng thực tế.
🔑 Công thức & Quy tắc cốt lõi:
Tích vô hướng của hai vectơ a và b: a . b = |a| . |b| . cos(a, b)
Bình phương vô hướng: a^2 = |a|^2
Góc giữa hai vectơ a và b được tính bằng công thức: cos(a, b) = (a . b) / (|a| . |b|)
✍️ Hướng dẫn giải chi tiết
Ba sợi dây không giãn chịu lực kéo cân bằng trên một mặt phẳng
Khi ba sợi dây ở trạng thái đứng yên, hợp lực của hai lực bất kỳ phải cân bằng với lực thứ ba. Do ba lực này đồng phẳng và cùng chịu tác động tại một điểm, theo quy tắc tổng hợp lực, ba sợi dây đó phải nằm trên cùng một mặt phẳng.
Tính góc và tích vô hướng trong lăng trụ tứ giác đều
a) AA' và C'C: Vectơ AA' ngược hướng với C'C nên góc giữa chúng bằng 180 độ. Tích vô hướng bằng -2. b) AA' và BC: Vectơ BC vuông góc với AA' nên góc giữa chúng bằng 90 độ. Tích vô hướng bằng 0. c) AC và B'A': AC = AB + BC, B'A' = BA. Tính tích vô hướng thông qua tọa độ hoặc các cạnh.
Tính tích vô hướng của các biểu thức vectơ
a) a . b = 1 . 1 . cos(45 độ) = sqrt(2)/2. b) (a + 3b) . (a - 2b) = a^2 + a . b - 6b^2 = 1 + sqrt(2)/2 - 6 = -5 + sqrt(2)/2. c) (a + b)^2 = a^2 + 2a . b + b^2 = 1 + 2(sqrt(2)/2) + 1 = 2 + sqrt(2).
Chứng minh hệ thức vectơ trong tứ diện
a) Biến đổi vế phải: AC . CD + BC . DC = (AD + DC) . CD + (BD + DC) . CD = ... rút gọn ta được AB . CD. b) Sử dụng tính chất trung gian và chèn điểm để chứng minh tổng các tích vô hướng bằng 0.
📖 SGK Toán 12, tập hai
60