Giải SGK Toán Lớp 12 Tập 1 - BÀI TẬP CUỐI CHUYÊN ĐỀ 2
💡 Kiến thức trọng tâm
Bài tập cuối chương I Toán 12 tập một gồm các câu hỏi trắc nghiệm ôn tập về tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, tiệm cận của đồ thị hàm số.
🔑 Công thức & Quy tắc cốt lõi:
Tính đơn điệu: Nếu f'(x) >= 0 (f'(x) <= 0) trên (a; b) và bằng 0 tại hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên (a; b).
Cực trị: Điểm x0 là điểm cực đại (cực tiểu) nếu f'(x0) = 0 và f''(x0) < 0 (f''(x0) > 0).
Tiệm cận đứng: x = x0 là tiệm cận đứng nếu lim(x->x0) f(x) = infinity (một phía hoặc hai phía).
Tiệm cận ngang: y = y0 là tiệm cận ngang nếu lim(x->+-infinity) f(x) = y0.
Tiệm cận xiên: y = ax + b (a != 0) là tiệm cận xiên nếu lim(x->+-infinity) [f(x) - (ax + b)] = 0.
✍️ Hướng dẫn giải chi tiết
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b). Phát biểu nào sau đây là đúng?
Theo lý thuyết về tính đơn điệu, nếu f'(x) >= 0 với mọi x thuộc (a; b) và f'(x) = 0 tại hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên (a; b). Do đó phát biểu A là đúng. Lưu ý phát biểu C sai vì hàm số đồng biến có thể có đạo hàm bằng 0 tại một vài điểm (ví dụ y = x^3 có y'(0) = 0 nhưng vẫn đồng biến trên R).
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên R?
Xét hàm số A: y = -x^3 + 3x^2 - 9x. Ta có y' = -3x^2 + 6x - 9 = -3(x^2 - 2x + 3) = -3((x-1)^2 + 2) < 0 với mọi x thuộc R. Vậy hàm số y = -x^3 + 3x^2 - 9x nghịch biến trên R. Chọn đáp án A.
Hàm số nào dưới đây không có cực trị?
Xét hàm số D: y = (2x - 1)/(x + 1). Tập xác định D = R \ {-1}. Ta có y' = (2(x+1) - (2x-1))/(x+1)^2 = 3/(x+1)^2 > 0 với mọi x thuộc D. Vì y' không đổi dấu và luôn dương trên từng khoảng xác định nên hàm số không có cực trị. Chọn đáp án D.
Giá trị cực tiểu của hàm số y = x^2 ln x là
Tập xác định: (0; +infinity). Ta có y' = 2x ln x + x^2 * (1/x) = x(2 ln x + 1). Cho y' = 0 <=> 2 ln x + 1 = 0 (vì x > 0) <=> ln x = -1/2 <=> x = e^(-1/2) = 1/sqrt(e). Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = 1/sqrt(e). Giá trị cực tiểu là y(1/sqrt(e)) = (1/sqrt(e))^2 * ln(1/sqrt(e)) = (1/e) * (-1/2) = -1/(2e). Chọn đáp án B.
Giá trị lớn nhất của hàm số y = (x - 2)^2 * e^x trên đoạn [1; 3] là
Ta có y' = 2(x - 2)e^x + (x - 2)^2 e^x = (x - 2)(x - 2 + 2)e^x = x(x - 2)e^x. Cho y' = 0 <=> x = 0 hoặc x = 2. Chỉ có x = 2 thuộc đoạn [1; 3]. Tính các giá trị: y(1) = (1-2)^2 * e^1 = e; y(2) = (2-2)^2 * e^2 = 0; y(3) = (3-2)^2 * e^3 = e^3. So sánh các giá trị, giá trị lớn nhất là e^3. Chọn đáp án B.
Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn: lim(x->2+) f(x) = 1; lim(x->2-) f(x) = 1; lim(x->+infinity) f(x) = 2 và lim(x->-infinity) f(x) = 2. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Ta có lim(x->+infinity) f(x) = 2 và lim(x->-infinity) f(x) = 2, suy ra đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Chọn đáp án B.
Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = (x^2 + 2x - 2)/(x + 2) là
Ta có y = (x(x + 2) - 2)/(x + 2) = x - 2/(x + 2). Khi x -> +-infinity thì -2/(x + 2) -> 0. Do đó đường thẳng y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. Chọn đáp án D.
📖 SGK Toán 12, tập một
43