Giải SGK Toán Lớp 12 Tập 2 - BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IV
💡
Tóm tắt nội dung: Lời giải chi tiết Bài tập cuối chương IV môn Toán Lớp 12 Tập 2 (sách Kết nối tri thức với cuộc sống). Hướng dẫn giải đầy đủ, chi tiết câu hỏi và bài tập giúp học sinh dễ dàng ôn tập và học tốt.
💡 Kiến thức trọng tâm
Bài tập về các giới hạn liên quan đến tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số, cách tìm tiệm cận của hàm số phân thức hữu tỉ và vận dụng vào bài toán thực tế.
🔑 Công thức & Quy tắc cốt lõi:
Đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim (x->x0+) f(x) = +-infinity, lim (x->x0-) f(x) = +-infinity.
Đường thẳng y = y0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim (x->+infinity) f(x) = y0 hoặc lim (x->-infinity) f(x) = y0.
✍️ Hướng dẫn giải chi tiết
❓ Đề bài:
Sử dụng đồ thị Hình 1.26 để viết giới hạn và chỉ ra các tiệm cận của đồ thị hàm số.
🔑 Lời giải chi tiết:
a) Dựa vào đồ thị Hình 1.26, ta có:
lim_{x->-\infty} f(x) = 2;
lim_{x->+\infty} f(x) = 2;
lim_{x->1^+} f(x) = +\infty;
lim_{x->-1^+} f(x) = -\infty.
b) Các tiệm cận của đồ thị hàm số:
- Tiệm cận ngang: Đường thẳng y = 2.
- Tiệm cận đứng: Đường thẳng x = 1 và đường thẳng x = -1.
lim_{x->-\infty} f(x) = 2;
lim_{x->+\infty} f(x) = 2;
lim_{x->1^+} f(x) = +\infty;
lim_{x->-1^+} f(x) = -\infty.
b) Các tiệm cận của đồ thị hàm số:
- Tiệm cận ngang: Đường thẳng y = 2.
- Tiệm cận đứng: Đường thẳng x = 1 và đường thẳng x = -1.
❓ Đề bài:
Đường thẳng x = 1 có phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = (x^2 + 2x - 3)/(x - 1) không?
🔑 Lời giải chi tiết:
Tập xác định của hàm số là D = R \ {1}.
Ta có: lim_{x->1} \frac{x^2 + 2x - 3}{x - 1} = lim_{x->1} \frac{(x - 1)(x + 3)}{x - 1} = lim_{x->1} (x + 3) = 1 + 3 = 4.
Vì giới hạn này là một số hữu hạn (bằng 4) chứ không phải vô cực, nên đường thẳng x = 1 không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Ta có: lim_{x->1} \frac{x^2 + 2x - 3}{x - 1} = lim_{x->1} \frac{(x - 1)(x + 3)}{x - 1} = lim_{x->1} (x + 3) = 1 + 3 = 4.
Vì giới hạn này là một số hữu hạn (bằng 4) chứ không phải vô cực, nên đường thẳng x = 1 không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
❓ Đề bài:
Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số y = (3 - x)/(2x + 1) và y = (2x^2 + x - 1)/(x + 2).
🔑 Lời giải chi tiết:
a) y = \frac{3 - x}{2x + 1}
- Tập xác định: D = R \ {-1/2}.
- Tiệm cận đứng: lim_{x->(-1/2)^+} \frac{3 - x}{2x + 1} = +\infty nên x = -1/2 là tiệm cận đứng.
- Tiệm cận ngang: lim_{x->\pm\infty} \frac{3 - x}{2x + 1} = -\frac{1}{2} nên y = -1/2 là tiệm cận ngang.
b) y = \frac{2x^2 + x - 1}{x + 2}
- Tập xác định: D = R \ {-2}.
- Tiệm cận đứng: lim_{x->(-2)^+} \frac{2x^2 + x - 1}{x + 2} = -\infty nên x = -2 là tiệm cận đứng.
- Tiệm cận xiên/ngang: Ta thực hiện phép chia đa thức \frac{2x^2 + x - 1}{x + 2} = 2x - 3 + \frac{5}{x + 2}.
Vì lim_{x->\pm\infty} [y - (2x - 3)] = lim_{x->\pm\infty} \frac{5}{x + 2} = 0 nên đường thẳng y = 2x - 3 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
- Tập xác định: D = R \ {-1/2}.
- Tiệm cận đứng: lim_{x->(-1/2)^+} \frac{3 - x}{2x + 1} = +\infty nên x = -1/2 là tiệm cận đứng.
- Tiệm cận ngang: lim_{x->\pm\infty} \frac{3 - x}{2x + 1} = -\frac{1}{2} nên y = -1/2 là tiệm cận ngang.
b) y = \frac{2x^2 + x - 1}{x + 2}
- Tập xác định: D = R \ {-2}.
- Tiệm cận đứng: lim_{x->(-2)^+} \frac{2x^2 + x - 1}{x + 2} = -\infty nên x = -2 là tiệm cận đứng.
- Tiệm cận xiên/ngang: Ta thực hiện phép chia đa thức \frac{2x^2 + x - 1}{x + 2} = 2x - 3 + \frac{5}{x + 2}.
Vì lim_{x->\pm\infty} [y - (2x - 3)] = lim_{x->\pm\infty} \frac{5}{x + 2} = 0 nên đường thẳng y = 2x - 3 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
❓ Đề bài:
Bài toán thực tế về chi phí sản xuất trung bình và tiệm cận.
🔑 Lời giải chi tiết:
Hàm số chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm là:
f(x) = \frac{C(x)}{x} = \frac{2x + 50}{x} = 2 + \frac{50}{x} (với x > 0).
- Ta có f'(x) = -\frac{50}{x^2} < 0 với mọi x > 0, suy ra hàm số f(x) giảm.
- lim_{x->+\infty} f(x) = lim_{x->+\infty} (2 + \frac{50}{x}) = 2.
- Tính chất này nói lên rằng: Khi số lượng sản phẩm sản xuất ra càng lớn (tăng lên vô hạn) thì chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm sẽ giảm dần và tiến đến mức 2 triệu đồng.
f(x) = \frac{C(x)}{x} = \frac{2x + 50}{x} = 2 + \frac{50}{x} (với x > 0).
- Ta có f'(x) = -\frac{50}{x^2} < 0 với mọi x > 0, suy ra hàm số f(x) giảm.
- lim_{x->+\infty} f(x) = lim_{x->+\infty} (2 + \frac{50}{x}) = 2.
- Tính chất này nói lên rằng: Khi số lượng sản phẩm sản xuất ra càng lớn (tăng lên vô hạn) thì chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm sẽ giảm dần và tiến đến mức 2 triệu đồng.
❓ Đề bài:
Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 144 m2, cạnh là x (m). Viết biểu thức chu vi và tìm tiệm cận của đồ thị.
🔑 Lời giải chi tiết:
a) Gọi cạnh còn lại của mảnh vườn hình chữ nhật là y (m).
Theo đề bài, diện tích mảnh vườn là xy = 144, suy ra y = \frac{144}{x}.
Biểu thức tính chu vi P(x) (mét) của mảnh vườn là:
P(x) = 2(x + \frac{144}{x}) = 2x + \frac{288}{x} (với x > 0).
b) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số y = P(x):
- Tập xác định: (0; +\infty).
- Tiệm cận đứng: lim_{x->0^+} (2x + \frac{288}{x}) = +\infty nên đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng.
- Tiệm cận xiên: Ta xét hàm số P(x) = 2x + \frac{288}{x}.
Vì lim_{x->+\infty} [P(x) - 2x] = lim_{x->+\infty} \frac{288}{x} = 0 nên đường thẳng y = 2x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi x -> +\infty.
- Ý nghĩa thực tế: Khi chiều dài x rất lớn so với chiều rộng, chu vi của mảnh vườn sẽ xấp xỉ bằng đường thẳng y = 2x.
Theo đề bài, diện tích mảnh vườn là xy = 144, suy ra y = \frac{144}{x}.
Biểu thức tính chu vi P(x) (mét) của mảnh vườn là:
P(x) = 2(x + \frac{144}{x}) = 2x + \frac{288}{x} (với x > 0).
b) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số y = P(x):
- Tập xác định: (0; +\infty).
- Tiệm cận đứng: lim_{x->0^+} (2x + \frac{288}{x}) = +\infty nên đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng.
- Tiệm cận xiên: Ta xét hàm số P(x) = 2x + \frac{288}{x}.
Vì lim_{x->+\infty} [P(x) - 2x] = lim_{x->+\infty} \frac{288}{x} = 0 nên đường thẳng y = 2x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi x -> +\infty.
- Ý nghĩa thực tế: Khi chiều dài x rất lớn so với chiều rộng, chu vi của mảnh vườn sẽ xấp xỉ bằng đường thẳng y = 2x.
📖 Chọn sách để xem:
📖 SGK Toán 12, tập hai
📖
Đang tải trang sách...
26